Question

【題目】定義：若數列滿足所有的項均由構成且其中有個，有個，則稱為“﹣數列”．

（1）為“﹣數列”中的任意三項，則使得的取法有多少種？

（2）為“﹣數列”中的任意三項，則存在多少正整數對使得且的概率為.

Answer 1

【答案】（1）16；（2）115.

【解析】

(1)易得使得的情況只有“”,“”兩種,再根據組合的方法求解兩種情況分別的情況數再求和即可.

(2)易得“”共有種,“”共有種.再根據古典概型的方法可知,利用組合數的計算公式可得,當時根據題意有,共個；

當時求得,再根據換元根據整除的方法求解滿足的正整數對即可.

解：（1）三個數乘積為有兩種情況：“”,“”,

其中“”共有：種,

“”共有：種,

利用分類計數原理得：

為“﹣數列”中的任意三項,

則使得的取法有：種．

（2）與(1)同理,“”共有種,

“”共有種,

而在“﹣數列”中任取三項共有種,

根據古典概型有：,

再根據組合數的計算公式能得到：

,

時,應滿足,

,共個,

時,

應滿足,

視為常數,可解得,

,

根據可知,,

,

,

根據可知,,（否則）,

下設,

則由于為正整數知必為正整數,

,

,

化簡上式關系式可以知道：,

均為偶數,

設,

則

,

由于中必存在偶數,

只需中存在數為的倍數即可,

,

．

檢驗： 符合題意,

共有個,

綜上所述：共有個數對符合題意．