Question

【題目】已知函數.

（1）用定義證明函數在上是增函數；

（2）探究是否存在實數，使得函數為奇函數？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；

（3）在（2）的條件下，解不等式.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）任取 ，作差、化簡利用指數函數的單調性可得 ，從而可得結論；（2）利用 ，根據指數冪的運算法則化簡可得 ，從而可求得的值；（3）利用函數的奇偶性化簡原不等式可得，利用函數的單調性化簡可得，解不等式即可的結果.

試題解析：（1）任取且，

則

在R上是增函數，且，，，，

，即函數在上是增函數.

（2）是奇函數，則，

即

，故.

當時，是奇函數.

（3）在（2）的條件下，是奇函數，則由可得：，

又在上是增函數，則得，.

故原不等式的解集為：.