Question

【題目】已知與相交于點(diǎn)，線(xiàn)段是圓的一條動(dòng)弦，且，則的最小值是___________．

Answer 1

【答案】

【解析】

由兩直線(xiàn)方程可知兩直線(xiàn)垂直，且分別過(guò)定點(diǎn)（3，1）、（1，3），所以點(diǎn)P的軌跡為以?xún)啥�點(diǎn)連線(xiàn)段為直徑的圓，方程為（x﹣2）2+（y﹣2）2=2。因?yàn)橐��?/span>的最小值，可作垂直線(xiàn)段CD⊥AB，根據(jù)向量的運(yùn)算可得，，根據(jù)條件求得CD的長(zhǎng)度為1，所以點(diǎn)D的軌跡為。根據(jù)兩圓方程可知點(diǎn)P的軌跡與點(diǎn)D的軌跡外離，故的最小值為兩圓的圓心距減去兩圓的半徑。

∵l1：mx﹣y﹣3m+1=0與l2：x+my﹣3m﹣1=0，

∴l1⊥l2，l1過(guò)定點(diǎn)（3，1），l2過(guò)定點(diǎn)（1，3），

∴點(diǎn)P的軌跡方程為圓（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，

作垂直線(xiàn)段CD⊥AB，CD==1，

所以點(diǎn)D的軌跡為,

則，

因?yàn)閳AP和圓D的圓心距為，

所以?xún)蓤A外離，

所以|PD|最小值為，

所以的最小值為4﹣2.

故答案為：4﹣2.