Question

【題目】已知三棱柱的底面是正三角形，側面為菱形，且，平面平面，、分別是、的中點.

（1）求證：平面；

（2）求證：；

（3）求與平面所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）連接交于點，連接、，證明四邊形為平行四邊形，可得出，再利用線面平行的判定定理即可得出結論；

（2）取的中點，連接、、，證明出平面，進而可證明出；

（3）連接，證明出平面，可得出與平面所成的角為，通過解可得出的值.

（1）如圖，連接交于點，連接、，則為的中點，

在三棱柱中，且，

、分別為、的中點，所以，且，

為的中點，且，則四邊形為平行四邊形，

，平面，平面，因此，平面；

（2）取的中點，連接、、，

四邊形為菱形，則，

、分別為、的中點，，則.

為等邊三角形，為的中點，，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

平面，，

，平面，

平面，；

（3）由（2）知，平面，所以，直線與平面所成的角為，

，，則為等邊三角形，所以，，

同理可得，，

平面，平面，，

則為等腰直角三角形，且，

因此，與平面所成角為.