Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，點E、F分別為棱AB、PD的中點． （Ⅰ）求證：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）AD與平面PCD所成的角的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：取PC的中點G，連結FG、EG，
∴FG為△CDP的中位線，
∴FG CD，
∵四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點，
∴AE CD，
∴FG AE，
∴四邊形AEGF是平行四邊形，
∴AF∥EG又EG平面PCE，
AF平面PCE，
∴AF∥平面PCE；
（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AD，PA⊥CD，
又AD⊥CD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面ADP
又AF平面ADP，
∴CD⊥AF
在直角三角形PAD中，PA=AD且F是PD的中點，
∴AF⊥PD，
又CD∩PD=D，
∴AF⊥平面PCD．
∴∠ADP就是AD與平面PCD所成的角．
在直角三角形PAD中，PA=AD，
∴∠PDA=45°
∴AD與平面PCD所成的角是45°．
【解析】（Ⅰ）取PC的中點G，連結FG、EG，則FG CD，AE CD，因此FG AE，AF∥EG又EG平面PCE，AF平面PCE，AF∥平面PCE；（Ⅱ）PA⊥底面ABCD，可證明CD⊥平面ADP，CD⊥AF，則AF⊥PD，AF⊥平面PCD，∠ADP就是AD與平面PCD所成的角，PA=AD，∠PDA=45°．
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．