Question

【題目】定義在（0，+∞）的函數f（x）滿足如下三個條件：

①對于任意正實數a、b，都有f（ab）=f（a）+f（b）-1；

②f（2）=0；

③x＞1時，總有f（x）＜1．

（1）求f（1）及的值；

（2）求證：函數f（x）在（0，+∞）上是減函數；

（3）如果存在正數k，使關于x的方程f（kx）+f（2-x）=-1有解，求正實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f（1）=1；f（）=2；（2）詳見解析；（3）[8，+∞）.

【解析】

（1）令a＝b＝1，a＝2，b，即可求得f（1）及的值；

（2）當x＞1時，f（x）＜1，根據函數單調性的定義討論函數的單調性；

（3）把f（kx）+f（2﹣x）根據條件轉化為f[kx（2﹣x）]﹣1，根據函數的單調性把函數值轉化為自變量x的方程，分離參數轉化我求函數的值域即可得到所求范圍．

解：（1）令a=b=1得f（1）=2f（1）-1，

即有f（1）=1；

令a=2，b=，可得f（1）=f（2）+f（）-1=f（）-1=1，

即有f（）=2；

（2）證明：設0＜x1＜x2，可得＞1，

可得f（）＜1，

由f（x2）=f（x1）=f（x1）+f（）-1＜f（x1），

可得函數f（x）在（0，+∞）上是減函數；

（3）由f（4）=2f（2）-1=-1，

f（8）=f（2）+f（4）-1=-2，

可得關于x的方程f（kx）+f（2-x）=-1即為f（kx（2-x））=-2=f（8），

函數f（x）在（0，+∞）上是減函數，

可得kx（2-x）=8在0＜x＜2有解，

即有k=，

由0＜x＜2可得x（2-x）∈（0，1]，

則k的范圍是[8，+∞）．