Question

【題目】自湖北武漢爆發新型冠狀病毒肺炎疫情以來，各地醫療物資缺乏，各生產企業紛紛加班加點生產，某企業準備購買三臺口罩生產設備，型號分別為A，B，C，已知這三臺設備均使用同一種易耗品，提供設備的商家規定：可以在購買設備的同時購買該易耗品，每件易耗品的價格為100元；也可以在設備使用過程中，隨時單獨購買易耗品，每件易耗品的價格為200元．為了決策在購買設備時應同時購買的易耗品的件數，該單位調查了這三種型號的設備各60臺，調查每臺設備在一個月中使用的易耗品的件數，并得到統計表如下所示．

每臺設備一個月中使用的易耗品的件數		6	7	8
頻數	型號A	30	30	0
	型號B	20	30	10
	型號C	0	45	15

將調查的每種型號的設備的頻率視為概率，各臺設備在易耗品的使用上相互獨立．

（1）求該單位一個月中A，B，C三臺設備使用的易耗品總數超過21件（不包括21件）的概率；

（2）以該單位一個月購買易耗品所需總費用的期望值為決策依據，該單位在購買設備時應同時購買20件還是21件易耗品?

Answer 1

【答案】（1）；（2）該單位在購買設備時應同時購買21件易耗品

【解析】

（1）由題中表格數據，分別求出三個型號設備在一個月使用易耗品的件數所對應的頻率，設該單位三臺設備在一個月中使用的易耗品的總件數為X，可知，分別求出和，即可求出答案；

（2）分別求出兩種情況下，一個月購買易耗品所需總費用的所有可能值，并求出對應的概率，從而可求出兩種情況的期望，比較二者大小，可得出結論.

（1）由題中表格可知，

A型號的設備一個月中使用易耗品的件數為6和7的頻率均為；

B型號的設備一個月中使用易耗品的件數為6，7，8的頻率分別為，，；

C型號的設備一個月中使用易耗品的件數為7和8的頻率分別為，，

設該單位一個月中A，B，C三臺設備使用易耗品的件數分別為x，y，z，則

，，，，，．

設該單位三臺設備一個月中使用的易耗品的總件數為X，

則．

而

，

，

故，

即該單位一個月中A，B，C三臺設備使用的易耗品總數超過21件的概率為．

（2）該單位三臺設備一個月中使用的易耗品的總件數為X，可能的取值為19，20，21，22，23．

，

，

，

由（1）知，，．

若該單位在購買設備的同時購買了20件易耗品，設該單位一個月中購買易耗品所需的總費用為元，

則的所有可能取值為2000，2200，2400，2600．

，

，

，

，

所以．

若該單位在購買設備的同時購買了21件易耗品，設該單位一個月中購買易耗品所需的總費用為Z元，

則Z的所有可能取值為2100，2300，2500．

，

，

，

所以．

因為，即，所以該單位在購買設備時應同時購買21件易耗品．