Question

【題目】如圖，在三棱柱中，、分別是、的中點.

（1）設棱的中點為，證明：平面；

（2）若，，，且平面平面.

（i）求三棱柱的體積；

（ii）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）（i）12；（ii）.

【解析】

（1）先證明四邊形是平行四邊形，再證明平面平面，得到平面.

（2）（i）先計算，根據平面，計算體積得到答案.

（ii）先判斷是二面角的平面角，再利用邊角關系計算得到答案.

21.（1）證明：連接，∵是的中點，是的中點，

可由棱柱的性質知，且；

∴四邊形是平行四邊形，∴.

∵，分別是、的中點，∴，∴平面平面.

平面，∴平面.

（2）（i），

平面平面且，

∴平面.

∴，；

（ii）在面內作于點在面內作于點，連接.

∵平面平面，

∴平面，

∴是二面角的平面角，

在中，，.

設二面角的大小為，則

，∴.