Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，∥，，，，為的中點.

（Ⅰ）證明：∥平面；

（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（I）見解析；

（II）

【解析】

（Ⅰ）取BC的中點G，連接FG，EG，證明四邊形EGCD為平行四邊形，得EG∥平面ACD，再證明FG∥平面ACD，可得平面EFG∥平面ACD，從而得到EF∥平面ACD；

（Ⅱ）求解三角形證明BA⊥AE，取BE的中點H，連接AH，HC，證明AH⊥平面BCDE．以H為坐標原點，以過點H且平行于CD的直線為x軸，以過點H且平行于BC的直線為y軸，HA所在直線為z軸建立空間直角坐標系，求出平面ACD的一個法向量，再求出直線BC的方向向量，由兩向量所成角的余弦值可得直線BC與平面ACD所成角的正弦值．

解：證明：（I）作中點，連接，則，

又，四邊形為平行四邊形，

故，則平面，

又為的中點，，則平面，

又，平面平面，

平面，

平面

（II），，，，

，則，

又，，則，

作中點，連接，，

，，

又，，即，

又，平面.

以為坐標原點，以過點且平行于的直線為軸，以過點且平行于的直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

可得，，，，

，

設為平面的一個法向量，

則即

可得，

直線的方向向量，

設與平面所成角為，

則，

綜上，直線與平面所成角的正弦值為.