Question

如圖，四邊形OABC是邊長為1的正方形，

OD

=3

OA

，點P為△BCD（含邊界）內的一個動點，設

OP

=x

OC

+y

OD

，則x²+9y²的最小值等于

 

．

Answer 1

分析：以OD為x軸，OC為y軸，建立直角坐標系，根據點P為△BCD（含邊界）內的一個動點建立不等關系，最后將3y看整體，則x²+9y²表示區域里點到原點距離的平方的幾何意義進行求解即可．

解答：解：以OD為x軸，OC為y軸，建立直角坐標系
則C（0，1），D（3，0），B（1，1）
直線CD的方程為x+3y-3=0，直線BD的方程為x+2y-3=0

OP

=x

OC

+y

OD

=（m，n）=（3y，x）
∵點P為△BCD（含邊界）內的一個動點
∴

3y+3x-3≥0 3y+2x-3≤0 x≤1

將3y看整體，則x²+9y²表示區域里點到原點距離的平方
當原點到直線3x+y-3=0的距離時x²+9y²取最小值
即d=

3

10

∴x²+9y²的最小值等于

9

10

故答案為：

9

10

點評：本題主要考查了向量在幾何中的應用，以及利用解析法求解和線性規劃的方法求最值，有一定的難度，屬于中檔題．