Question

【題目】已知函數f（x）=3mx﹣ ﹣（3+m）lnx，若對任意的m∈（4，5），x1 ， x2∈[1，3]，恒有（a﹣ln3）m﹣3ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，則實數a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】[ ，+∞）
【解析】解：函數的導數f′（x）=3m+ ﹣ =
= = ，
∵m∈（4，5），
∴ ∈（ ， ），
由f′（x）＞0得x＞ 或x＜ ，此時函數單調遞增，
由f′（x）＜0得 ＜x＜ ，此時函數單調遞減，
∴當x∈[1，3]時，函數f（x）為增函數，
則函數的最大值為f（3）max=9m﹣ ﹣（3+m）ln3，
函數的最小值為f（1）min=3m﹣1，
則|f（x1）﹣f（x2）|max=9m﹣ ﹣（3+m）ln3﹣（3m﹣1）=6m+ ﹣（3+m）ln3，
則（a﹣ln3）m﹣3ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，
等價為（a﹣ln3）m﹣3ln3＞6m+ ﹣（3+m）ln3，
即am＞6m+ ，即a＞6+ ，
∵m∈（4，5），
∴ ∈（ ， ），
∴ ∈（ ， ），
則6+ ∈（ ， ），
則a≥ ，
即實數a的取值范圍是[ ，+∞），
所以答案是：[ ，+∞）．