Question

（2013•江門一模）春節期間，某商場決定從3種服裝、2種家電、3種日用品中，選出3種商品進行促銷活動．
（1））試求選出的3種商品中至少有一種是家電的概率；
（2）商場對選出的某商品采用抽獎方式進行促銷，即在該商品現價的基礎上將價格提高100元，規定購買該商品的顧客有3次抽獎的機會：若中一次獎，則獲得數額為m元的獎金；若中兩次獎，則共獲得數額為3m元的獎金；若中3次獎，則共獲得數額為6m元的獎金．假設顧客每次抽獎中獲的概率都是

1

3

，請問：商場將獎金數額m最高定為多少元，才能使促銷方案對商場有利？

Answer 1

分析：（1）求互斥事件的概率一般有兩種方法，直接法和間接法，本小題用用間接法比較簡便．事件“至少有一種是家電”的對立事件是“商品中沒有家電”，用公式P（A）=1-P（

.

A

），即運用逆向思維計算．
（2）欲求m的值，需要先求獎金總額的期望值，要使促銷方案對商場有利，應使顧客獲獎獎金總額的期望值不大于商場的提價數額即可．

解答：解：（1）設選出的3種商品中至少有一種是家電為事件A，從3種服裝、2種家電、3種日用品中，選出3種商品，一共有

C

3 8

種不同的選法…（1分），
選出的3種商品中，沒有家電的選法有

C

3 6

種…（2分）
所以，選出的3種商品中至少有一種是家電的概率為P(A)=1-

C 3 6

C 3 8

=

9

14

…（4分）
（2）設顧客三次抽獎所獲得的獎金總額為隨機變量ξ，其所有可能的取值為0，m，3m，6m．（單元：元）…（5分）
ξ=0表示顧客在三次抽獎都沒有獲獎，所以P(ξ=0)=(1-

1

3

)3=

8

27

…（6分）
同理，P(ξ=m)=

C

1 3

×(1-

1

3

)2×

1

3

=

4

9

…（7分）P(ξ=3m)=

C

2 3

×(1-

1

3

)1×(

1

3

)2=

2

9

…（8分）P(ξ=6m)=

C

3 3

×(

1

3

)3=

1

27

…（9分）
顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額的期望值是E(ξ)=0×

8

27

+m×

4

9

+3m×

2

9

+6m×

1

27

=

4

3

m…（12分）（列式（2分），計算1分）
由

4

3

m≤100，解得m≤75…（13分）
所以故m最高定為75元，才能使促銷方案對商場有利…（14分）．

點評：本題考查古典概型、離散型隨機變量的期望，以及運用互斥事件求概率的方法，同時考查期望的求法．屬于中檔題．