Question

【題目】已知橢圓C的離心率為且經過點

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點(0，2)的直線l與橢圓C交于不同兩點A、B，以OA、OB為鄰邊的平行四邊形OAMB的頂點M在橢圓C上，求直線l的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據橢圓的離心率、橢圓上點的坐標以及列方程，由此求得，進而求得橢圓的方程.

（2）設出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓的方程，寫出韋達定理.根據平行四邊形的性質以及向量加法的幾何意義得到，由此求得點的坐標，將的坐標代入橢圓方程，化簡后可求得直線的斜率，由此求得直線的方程.

（1）由橢圓的離心率為，點在橢圓上，所以，且

解得，所以橢圓的方程為．

（2）顯然直線的斜率存在，設直線的斜率為，則直線的方程為，設，由消去得，

所以，

由已知得，所以，由于點都在橢圓上，

所以，

展開有，

又，

所以，

經檢驗滿足，

故直線的方程為.