Question

【題目】設函數f(x)＝|x＋2|＋|x－2|，x∈R，不等式f(x)≤6的解集為M.

（1）求M；

（2）當a2，b2∈M時，證明： |a＋b|≤|ab＋3|.

Answer 1

【答案】（1）[－3,3]； （2）見解析.

【解析】

（1）去絕對值將不等式化為其等價形式，求解即可；（2）利用分析法，將不等式轉化為3(a＋b)2≤(ab＋3)2，證明即可。

(1)|x＋2|＋|x－2|≤6等價于或或，解得－3≤x≤3，

∴M＝[－3,3].

(2) 當a2，b2∈M時，即0≤a2≤3,0≤b2≤3時，

要證|a＋b|≤|ab＋3|，即證3(a＋b)2≤(ab＋3)2，

3(a＋b)2－(ab＋3)2＝3(a2＋2ab＋b2)－(a2b2＋6ab＋9)＝3a2＋3b2－a2b2－9＝(a2－3)(3－b2)≤0，

∴|a＋b|≤|ab＋3|.