Question

【題目】已知函數．

（1）若存在最大值，證明：；

（2）函數，且只有一個極值點，求的取值范圍，并證明：

Answer 1

【答案】(1) 證明見解析(2) ,證明見解析

【解析】

（1）先求函數的導數，分的范圍討論函數是否有最大值，并且在有最大值時根據函數的單調性求（a）的最小值等于零即可；

（2）求函數的導數，且只有一個根，且定義域內根的兩邊區間的符合相反，求出根，并證明的最小值大于等于即可．

解：（1）由題意：，

當時，恒成立，函數單調遞增，無最大值；

當，在單調遞增，，上單調遞減，

所以函數在最大值為，

所以，

下面證明，即證：，令， ，

所以在，單調遞減，在單調遞增，

所以，所以，證畢．

（2），所以，設，，

①當時，令，解得，，，單調遞增，，，單調遞減，

若，恒成立，無極值；

若，，而，，此時函數有兩個極值點：

故不符合題意

②時，，，單調遞減，，，單調遞增，

所以函數有唯一的極小值點，；

③當，恒成立，單調遞增，取滿足，且時，，而，此時又零點存在定理知：有唯一的零點，只有一個極值點，且，由題知，又，

，

，

設，

，當，， 單調遞減，

，

成立，

綜上：函數只有一個極值點取值范圍，，且．