Question

【題目】已知橢圓的焦點在軸上，且橢圓的焦距為2．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）過點的直線與橢圓交于兩點，過作軸且與橢圓交于另一點， 為橢圓的右焦點，求證：三點在同一條直線上．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由焦距為2可得，解方程得的值，即可得橢圓的標準方程；（Ⅱ）設直線的方程為，點，聯立直線與橢圓的方程，結合韋達定理可得， ，直線方程為，結合點在上，用， 代替， ，化簡整理直線方程為，令，整理得，得證.

試題解析：（Ⅰ）∵橢圓的焦點在軸上，

∴，即，

∵橢圓的焦距為2，且，

∴，解得，

∴橢圓的標準方程為；

（Ⅱ）由題知直線的斜率存在，

設的方程為，點，

則得，

即， ，

， ，

由題可得直線方程為，

又∵， ，

∴直線方程為，

令，整理得

，

即直線過點，

又∵橢圓的右焦點坐標為，

∴三點在同一條直線上．