Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的最小值；

（2）當時，求函數的單調區間；

（3）當時，設函數，若存在區間，使得函數在上的值域為，求實數的最大值.

Answer 1

【答案】（1） （2）答案不唯一，見解析 （3）

【解析】

（1）求導，接著單調區間，即可得出最小值；

（2）求導，對分類討論，可求出函數的單調區間；

（3）求出，通過分析，可得到在增函數，從而有，轉化為在上至少有兩個不同的正根，，轉化為與至少有兩個交點，即可求出實數的最大值.

（1）當時，，

這時的導數，

令，即，解得，

令得到，

令得到，

故函數在單調遞減，在單調遞增；

故函數在時取到最小值，

故；

（2）當時，函數

導數為，

若時，，單調遞減，

若時，，

當或時，，

當時，，

即函數在區間，上單調遞減，

在區間上單調遞增.

若時，，

當或時，，

當時，，

函數在區間，上單調遞減，

在區間上單調遞增.

綜上，若時，函數的減區間為，無增區間，

若時，函數的減區間為，，增區間為，

若時，函數的減區間為，，增區間為.

（3）當時，設函數.

令，，

當時，，為增函數，

，為增函數，

在區間上遞增，

∵在上的值域是，

所以在上至少有兩個不同

的正根，，

令，求導得，，

令，

則，

所以在遞增，，，

當，，∴，

當，，∴，

所以在上遞減，在上遞增，

∴，∴，

∴的最大值為.