Question

（2012•藍山縣模擬）若直線l：y+1=k（x-2）被圓C：x²+y²-2x-24=0截得的弦AB最短，則直線AB的方程是

x-y-3=0

．

Answer 1

分析：觀察直線方程發現該直線恒過（2，-1），且根據此點到圓心的距離小于圓的半徑得到此點在圓內，要使圓C截得的弦AB最短，故與AB垂直的直徑必然過此點，則求出此直徑所在直線的方程，根據兩直線垂直得到兩條直線的斜率乘積為-1，即可求出k得到直線AB的方程．

解答：解：把圓C：x²+y²-2x-24=0化簡得：（x-1）²+y²=5²，
則圓心坐標為（1，0），r=5，
由直線l：y+1=k（x-2）可知：直線l過（2，-1）；
∵此點到圓心的距離d=

(1-2)2+12

=

2

＜5，即此點在圓內，
∵圓C截得的弦AB最短，∴與AB垂直的直徑必然過此點，
設這條直徑所在直線的解析式為l₁：y=mx+b，
把（2，-1）和（1，0）代入求得y=-x+1，
又直線l₁和直線AB垂直，兩條直線的斜率乘積為-1，
所以得-k=-1，則k=1，
則直線AB的方程為y=x-3，即x-y-3=0．
故答案為：x-y-3=0

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：恒過定點的直線方程，圓的標準方程，直線的點斜式方程，以及兩直線垂直時斜率滿足的關系，其中根據題意得到與AB垂直的直徑必然過（2，-1）是解本題的關鍵．