Question

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為，，橢圓上一點到的距離之和為4．過點作直線的垂線交直線于點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）試判斷直線與橢圓公共點的個數，并說明理由；

（3）直線與直線交于點，求的值．

Answer 1

【答案】（1）．（2）答案見解析．（3）

【解析】

（1）根據題意，可得出，已知條件結合橢圓的定義得，再由求出，即可得到橢圓的方程；

（2）設，，直線的方程從而得出，求出的方程，與橢圓聯立解方程求解，即可判斷出直線與橢圓公共點的個數；

（3）由（2）知，直線的方程為：，與直線交于點，運用兩點間距離公式，可分別求出和，從而得出的值．

（1）設橢圓的焦距為，

因為，為橢圓的左右焦點，所以，

因為點到的距離之和為4，所以，即，

所以，

所以，橢圓的標準方程．

（2）設，，由點在橢圓上得，

直線的方程為，它與直線交于點，

所以，直線的方程為，結合，

直線的方程可化為．

與橢圓聯立，整理得，解得．

所以直線與橢圓只有一個公共點．

（3）由（2）知，直線的方程為：，

它與直線交于點，則，

，

所以，．