Question

【題目】如圖，在正三棱柱中，，，分別為，的中點．

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成二面角銳角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）.

【解析】

（1）取中點為，通過證明//，進而證明線面平行；

（2）取中點為，以為坐標原點建立直角坐標系，求得兩個平面的法向量，用向量法解得二面角的大小.

（1）證明：取的中點，連結，，如下圖所示：

在中，因為 為的中點，

，且，

又為的中點，，

，且，

，且，

四邊形為平行四邊形，

又平面，平面，

平面，即證.

（2）取中點，連結，，則，平面，

以為原點，分別以，，為，，軸，

建立空間直角坐標系，如下圖所示：

則，，，，，

，，，

設平面的一個法向量，

則，則，

令．則，

同理得平面的一個法向量為，

則，

故平面與平面所成二面角（銳角）的余弦值為.