Question

已知f（x）的定義域是x≠0的一切實數，對于定義域內任意的x₁，x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且當x＞1時，f（x）＞0，f（2）=1．
（1）求證f（x）是偶函數；
（2）求證f（x）在（0，+∞）上是增函數；
（3）若f（a+1）＞f（a）+1，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據題意和式子的特點，先令x₁=x₂=1，求出f（1）=0，令x₁=x₂=-1求出f（-1）=0，再令x₁=-1，x₂=x求出f（-x）=f（x），則證出此函數為偶函數；
（2）先任取x₂＞x₁＞0，再代入所給的式子進行作差變形，利用x₂=x1•

x2

x1

和

x2

x1

＞1且f(

x2

x1

)＞0，判斷符號并得出結論；
（3）根據f（2）=1得f（a+1）＞f（a）+1=f（a）+f（2）=f（2a），然后根據偶函數f（x）得f（|a+1|）＞f（|2a|），最后根據f（x）在（0，+∞）上是增函數建立不等關系，解之即可．

解答：解：（1）由題意知，對定義域內的任意x₁，x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），
令x₁=x₂=1，代入上式解得f（1）=f（1）+f（1）∴f（1）=0
令x₁=x₂=-1，代入上式解得f（1）=f（-1）+f（-1）=0∴f（-1）=0，
令x₁=-1，x₂=x代入上式，∴f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴f（x）是偶函數．
（2）設x₂＞x₁＞0，則f(x2)-f(x1)=f(x1•

x2

x1

)-f(x1)=f(x1)+f(

x2

x1

)-f(x1)=f(

x2

x1

)
∵x₂＞x₁＞0，∴

x2

x1

＞1，∴f(

x2

x1

)＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數．
（3）∵f（2）=1
∴f（a+1）＞f（a）+1=f（a）+f（2）=f（2a）
∵f（x）是偶函數；
∴f（|x|）=f（-x）=f（x）則f（a+1）＞f（2a）即f（|a+1|）＞f（|2a|）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數．
∴|a+1|＞|2a|
兩邊平方得a²+2a+1＞4a²
即3a²-2a-1＜0解得-

1

3

＜a＜1

點評：本題主要考查了抽象函數及其應用，以及函數的奇偶性和單調性，同時考查了不等式的解法，屬于中檔題．