Question

【題目】某學校高二年級舉行了由全體學生參加的一分鐘跳繩比賽，計分規則如下表：

每分鐘跳繩個數
得分	16	17	18	19	20

年級組為了解學生的體質，隨機抽取了100名學生的跳繩個數作為一個樣本，繪制了如下樣本頻率分布直方圖.

（1）現從樣本的100名學生跳繩個數中，任意抽取2人的跳繩個數，求兩人得分之和小于35分的概率；（用最簡分數表示）

（2）若該校高二年級共有2000名學生，所有學生的一分鐘跳繩個數近似服從正態分布，其中，為樣本平均數的估計值（同一組中數據以這組數據所在區間中點值作代表）.利用所得的正態分布模型，解決以下問題：

（i）估計每分鐘跳繩164個以上的人數（結果四舍五入到整數）；

（ii）若在全年級所有學生中隨機抽取3人，每分鐘跳繩在179個以上的人數為，求隨機變量的分布列和數學期望與方差.

附：若隨機變量服從正態分布，則，，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）1683；（ii）.

【解析】

（1）根據頻率分布直方圖得到16分，17分，18分的人數，再根據古典概率的計算公式求解．

（2）根據離散型隨機變量的分布列和數學期望與方差的公式進行求解．

（1）設“兩人得分之和小于35分”為事件，則事件包括以下四種情況：

①兩人得分均為16分；②兩人中一人16分，一人17分；

③兩人中一人16分，一人18分；④兩人均17分.

由頻率分布直方圖可得，得16分的有6人，得17分的有12人，得18分的有18人，

則由古典概型的概率計算公式可得.

所以兩人得分之和小于35的概率為.

（2）由頻率分布直方圖可得樣本數據的平均數的估計值為：

（個）.

又由，得標準差，

所以高二年級全體學生的跳繩個數近似服從正態分布.

（i）因為，所以，

故高二年級一分鐘跳繩個數超過164個的人數估計為

（人）.

（ii）由正態分布可得，全年級任取一人，其每分鐘跳繩個數在179以上的概率為，

所以，的所有可能的取值為0，1，2，3.

所以，

，

，

，

故的分布列為：

	0	1	2	3

所以，.