Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側棱底面，，，，是棱的中點.

（1）求證：平面；

（2）若，點是線段上一點，且，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）的中點，連接，，證明四邊形是平行四邊形可得，故而平面；

（2）以為原點建立空間坐標系，求出平面的法向量，計算與的夾角的余弦值得出答案．

（1）證明：取的中點，連接，，

，分別是，的中點，

，，

又，，

，，

四邊形是平行四邊形，，

又平面，平面，

平面．

（2）解：，，

又，故，

以為原點，以，，為坐標軸建立空間直角坐標系，

則，0，，，0，，，2，，，0，，，2，，

是的中點，是的三等分點，

，1，，，，，

，，，，0，，，2，，

設平面的法向量為，，，則，即，

令可得，，，

，

，

直線與平面所成角的正弦值為．