Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，AD⊥PD，點F為棱PD的中點．

（1）在棱BC上是否存在一點E，使得CF∥平面PAE，并說明理由；

（2）若AC⊥PB，二面角D﹣FC﹣B的余弦值為時，求直線AF與平面BCF所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）存在，見解析（2）．

【解析】

（1）取點E為棱BC的中點，取PA的中點Q，連結EQ、FQ，利用已知結合三角形中位線定理可證四邊形CEQF為平行四邊形，得到CF∥EQ，再由直線與平面平行的判定得CF∥平面PAE；

（2）取AB中點M，以D為坐標原點，分別以DM，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系.設FD＝a，利用平面FBC與平面DFC的所成角的余弦值求得a，可得平面BCF的一個法向量及的坐標再由兩向量所成角的余弦值可得FA與平面BCF所成的角的正弦值.

（1）在棱BC上存在點E，使得CF∥平面PAE，點E為棱BC的中點.

證明：取PA的中點Q，連結EQ、FQ，

由題意，FQ∥AD且，CE∥AD且，

故CE∥FQ且CE＝FQ.

∴四邊形CEQF為平行四邊形.

∴CF∥EQ，又平面PAE，在平面PAE內，

∴CF∥平面PAE；

（2）取AB中點M，

以D為坐標原點，分別以DM，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系.

設FD＝a，則D（0，0，0），F（0，0，a），C（0，2，0），

B（，1，0），A（）.

，.

設平面FBC的一個法向量為.

由，取x＝1，得；

取平面DFC的一個法向量為.

由題意，，解得a.

∴.

設直線AF與平面BCF所成的角為θ，

則.

即直線AF與平面BCF所成的角的正弦值為.