Question

【題目】已知橢圓： 的焦點在軸上，橢圓的左頂點為，斜率為的直線交橢圓于， 兩點，點在橢圓上， ，直線交軸于點.

（Ⅰ）當點為橢圓的上頂點， 的面積為時，求橢圓的離心率；

（Ⅱ）當， 時，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ）．

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由題意，求出斜率，由垂直得到的斜率，即得直線方程，從而得點坐標，因此可把面積用表示出來，從而求得離心率；

（Ⅱ）寫出直線方程，與橢圓方程聯立可求得點坐標，得的長，把其中的用代替，可得的長，由得，最后利用可求得的范圍．

試題解析：

（Ⅰ）直線 的方程為

直線 的方程為，令，

于是 ，

（Ⅱ）直線的方程為，

聯立并整理得，

解得或，

因為

，整理得， ．

因為橢圓的焦點在軸，所以，即，

整理得，解得．