Question

P是橢圓上的點，F₁、F₂是兩個焦點，則|PF₁|·|PF₂|的最大值與最小值之差是_____

Answer 1

5

分析：由題意，設|PF₁|=x，故有|PF₁|?|PF₂|=x（6-x）=-x²+6x=-（x-3）²+9，
其中3-≤x≤3+。根據 函數y=-x²+6x在（3-，3）上單調遞增，(3，3+)上單調遞減，可求y=-x²+6x的最小值與最大值，從而可求|PF₁|?|PF₂|的最大值和最小值之差。
解答：
由題意，設|PF₁|=x，
∵|PF₁|+|PF₂|=2a=6，
∴|PF₂|=6-x
∴|PF₁|?|PF₂|=x（6-x）=-x²+6x=-（x-3）²+9
∵橢圓c=，a=3
∴3-≤x≤3+
∵函數y=-x²+6x在（3-，3）上單調遞增，(3，3+)上單調遞減，
∴x=3-時，y=-x²+6x取最小值(3-)(3+)=4，
x=3時，y=-x²+6x取最大值為9，
∴|PF₁|?|PF₂|的最大值和最小值之差為9-4=5
故答案為：5
點評：本題以橢圓的標準方程為載體，考查橢圓定義的運用，考查函數的構建，考查函數的單調性，屬于基礎題。