Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面底面，其中底面為等腰梯形，，，，，為的中點.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）取中點，連結，推導出為平行四邊形，從而，由此能證明平面．
（2）取中點，連結，取的中點，連結，推導出，，從而平面，以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角的余弦值．

解：（1）取中點，連結，.

∵，是，的中點，

∴，且.

∵，，

∴，

∴，

∴，又，

∴，

∴為平行四邊形，

∴.

又平面，且平面，

∴平面；

（2）取中點，連接，取的中點，連接，.設，

由（1）得，

∴為等邊三角形，

∴，同理∴，

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面.

以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，

則，，，，，，

設平面的法向量，則，∴，

取，得，

又平面的法向量，

∴，

由圖得二面角的平面角為鈍角，

所以，二面角的余弦值為.