Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)，，且，關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.

【解析】

（1）將代入函數(shù)的解析式，求出該函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)能求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間與減區(qū)間；

（2）由題意知，方程有唯一實(shí)數(shù)解，由參變量分離法得知方程有唯一解（其中），構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出正實(shí)數(shù)的值.

（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?/span>，

.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（2）當(dāng)，時(shí)，，

由于，由題意知，方程有唯一實(shí)數(shù)解，則方程有唯一解，

構(gòu)造函數(shù)，其中，則，令，得.

因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域上為減函數(shù) ，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

所以，函數(shù)的極小值為，作出函數(shù)和的圖象如下圖所示：

，則，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，因此，.