Question

設數列{a_n}是公差不為0的等差數列，S_n為前n項和，滿足a₃，2a₅，a₁₂ 成等差數列，S₁₀=60．
（1）求數列{a_n}的通項公式及前n項和S_n；
（2）試求所有正整數m，使

am+12+2

am

為數列{a_n}中的項．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列的通項公式和等差數列的性質，先求出等差數列的首項和公差，由此能求出數列{a_n}的通項公式及前n項和S_n；
（2）利用數列{a_n}的通項公式對

am+12+2

am

進行化簡整理，再由

am+12+2

am

為數列{a_n}中的項進行分析求解，利用列舉法能求出所有正整數m．

解答：解：（1）設數列{a_n}首項為a₁，公差為d，
則a3+a12=a1+2d+a 1+11d=2a₁+13d，（2分）
2a₅=2（a₁+4d）=2a₁+8d，
∵a₃，2a₅，a₁₂ 成等差數列，
∴a₃+a₁₂=2×2a₅，
∴2a₁+13d=2（2a₁+8d），
整理，得2a₁+3d=0，（4分）
∵S₁₀=60，∴S10=10a1+

10×9

2

d=10a₁+45d=60，
解得a₁=-3，d=2，
∴a_n=2n-5，
Sn=n×(-3)+

n(n-1)

2

×2=n2-4n．（7分）
（2）∵a_n=2n-5，
∴

am+12

a   m

=

(2m-3)2+2

2m-5

=

[(2m-5)+2]2+2

2m-5

=

(2m-5)2+4(2m-5)+6

2m-5

=2m-5+4+

6

2m-5

=2m-1+

6

2m-5

，（10分）
要使

am+12+2

am

為數列{a_n}中的項，則

6

2m-5

為整數．
m=1，2m-1+

6

2m-5

=-5是第二項，
m=2，2m-1+

6

2m-5

=-3=2×1-5是第一項，
m=3，2m-1+

6

2m-5

=11=2×8-5是第八項
m=4，2m-1+

6

2m-5

=2×7-5是第七項
所有的正整數m為1，2，3，4．（14分）

點評：本題考查等差數列的通項公式、前n項和公式、等差中項等知識點的應用，解題時要注意合理地進行化簡整理，注意列舉法的合理運用．