Question

【題目】設橢圓的右焦點為，以原點為圓心，短半軸長為半徑的圓恰好經過橢圓的兩焦點，且該圓截直線所得的弦長為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過定點的直線交橢圓于兩點、，橢圓上的點滿足，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意可知，，再由圓截直線所得的弦長為，得，可求出，從而求出的值，可得到橢圓的標準方程；

（2）設過點的直線為，與橢圓方程聯立成方程組，消元后得，先使判別式大于零，求出的取值范圍，再利用根與系數的關系得到，然后結合將點的坐標表示出來代入橢圓方程中可出的值，從而可得直線的方程.

（1）以原點為圓心，短半軸長為半徑的圓的方程為.

∵ 圓過橢圓的兩焦點， ∴，

∵ 圓截直線所得的弦長為.

∴ ，解得，

∴ .

∴ 橢圓的標準方程為.

（2）設過點的直線方程為.

，兩點的坐標分別為，，

聯立方程，得，，

∴ ，

∵ ，∴點，

∵ 點在橢圓上，∴有，

即，

∴ ，

即，解得，符合，

直線方程為.

（2）方法二：由題意知直線的斜率存在，

設過定點的直線為，

，，

則直線與軸交于點，

因為，所以，

將直線與橢圓聯立并化簡可得，

，

則，

解得，

所以，，

所以，

因為點在橢圓上，

所以滿足橢圓方程，

將，代入得，

，

化簡得，

直線方程為.