已知函數
．
（1）求
的最小值；
（2）當函數自變量的取值區間與對應函數值的取值區間相同時，這樣的區間稱為函數的保值區間.設
，試問函數
在
上是否存在保值區間？若存在，請求出一個保值區間；若不存在，請說明理由.
（1）在
處取得最小值
．
（2）函數在
上不存在保值區間,證明見解析.
解析試題分析：（1）求導數，解
得函數的減區間
；
解
，得函數的增區間
．
確定在處取得最小值．
也可以通過“求導數、求駐點、研究函數的單調區間、確定極值（最值）” .
（2）函數在上不存在保值區間.
函數存在保值區間即函數存在自變量的取值區間與對應函數值的取值區間相同.因此，可以假設函數存在保值區間
,研究對應函數值的取值區間.在研究函數值取值區間過程中，要么得到肯定結論，要么得到矛盾結果.本題通過求導數：
，明確
時， 
，得到所以
為增函數，因此 
轉化得到方程
有兩個大于
的相異實根，構造函數
后知其為單調函數，推出矛盾，作出結論.
試題解析：
（1）求導數，得
．
令
，解得． 2分
當
時，，所以在上是減函數；
當
時，，所以在上是增函數．
故在處取得最小值． 6分
（2）函數在上不存在保值區間,證明如下：
假設函數存在保值區間,
由
得：
因時， ，所以為增函數，所以
即方程有兩個大于的相異實根 9分
設 
因，
，所以
在上單增
所以
在區間上至多有一個零點 12分
這與方程
有兩個大于的相異實根矛盾
所以假設不成立，即函數
在上不存在保值區間. 13分
考點：新定義問題，應用導數研究函數的單調性、最（極）值，轉化與化歸思想，間接推理.
永乾教育寒假作業快樂假期延邊人民出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)=(x-a)2(x-b)(a,b∈R,a<b).
(1)當a=1,b=2時,求曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程;
(2)設x1,x2是f(x)的兩個極值點,x3是f(x)的一個零點,且x3≠x1,x3≠x2.證明:存在實數x4,使得x1,x2,x3,x4按某種順序排列后構成等差數列,并求x4.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
據統計某種汽車的最高車速為120千米∕時，在勻速行駛時每小時的耗油量
（升）與行駛速度（千米∕時）之間有如下函數關系：
。已知甲、乙兩地相距100千米。
（1）若汽車以40千米∕時的速度勻速行駛，則從甲地到乙地需耗油多少升？
（2）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
，
，且直線
與曲線
相切．
（1）若對
內的一切實數
，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；
（2）當
時，求最大的正整數
，使得對
（
是自然對數的底數）內的任意個實數
都有
成立；
（3）求證：
．
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時，求
的極值；
時，討論
,恒有
成立，求實數
的取值范圍.
，當
時，
.
上存在極值點，求實數a的取值范圍；
時，不等式
恒成立，求實數k的取值范圍；
.
（e為自然對數的底數）
的最小值；
，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍.
．
在
上不是單調函數，求實數
的取值范圍；
時，討論函數
的零點個數．