Question

對于定義在R上的函數(shù)f（x），若實(shí)數(shù)x₀滿足f（x₀）=x₀，則稱x₀是函數(shù)f（x）的一個(gè)不動點(diǎn)．若函數(shù)f（x）=ax²+2x+1有一個(gè)不動點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值集合是

{

1

4

，0}

．

Answer 1

分析：不動點(diǎn)實(shí)際上就是方程f（x₀）=x₀的實(shí)數(shù)根，由題意可得方程ax²+x+1=0只有一個(gè)實(shí)根，分a≠0和a=0兩種情況進(jìn)行討論，屬于中檔題．

解答：解：根據(jù)題意可得方程 x=ax² +2x+1只有一個(gè)實(shí)根，即方程ax²+x+1=0只有一個(gè)實(shí)根．
∴當(dāng)a≠0時(shí)，由△=1-4a=0，解得 a=

1

4

．
當(dāng)a=0時(shí)，方程即x+1=0，x=-1，顯然滿足條件．
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值集合是 {

1

4

，0}，
故答案為 {

1

4

，0}．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，解答該題時(shí)，借用了一元二次方程的根的判別式與根這一知識點(diǎn)，屬于中檔題．