Question

【題目】已知函數，有如下性質：如果常數，那么該函數在上是減函數，在上是增函數.

（1）已知，，利用上述性質，求的單調區間和值域；

（2）對于（1）中的函數和函數，若對任意的，總存在使得成立，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）的單調遞減區間為，的單調遞增區間為；；（2）3.

【解析】

（1）先將函數變形為，根據題目已知條件可得函數的單調區間和值域；

（2）由求得函數的值域，由已知得的值域是的值域的子集，建立關于的不等式，解之可得實數的值.

（1），

設，∵，∴，由，可得

當時，即時，單調遞減，

∴函數的單調遞減區間為，

當時，即時，單調遞增，

∴函數的單調遞增區間為，

由，，，得的值域為.

（2）為減函數，

故當時，，

由題知的值域是的值域的子集，

∴，解得.