Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，在定義域x∈[-2，2]上表示的曲線過原點，且在x=±1處的切線斜率均為-1．有以下命題：①f（x）是奇函數(shù)；②若f（x）在[s，t]內(nèi)遞減，則|t-s|的最大值為4；③f（x）的最大值為M，最小值為m，則M+m=0．④若對?x∈[-2，2]，k≤f'（x）恒成立，則k的最大值為2．其中正確命題的個數(shù)有（　　）

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

分析：首先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)f（x）過原點，列方程組求出f（x）的解析式；然后根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，且由f′（x）的最小值求出k的最大值，則命題①④得出判斷；最后令f′（x）=0，求出f（x）的極值點，進而求得f（x）的單調(diào)區(qū)間與最值，則命題②③得出判斷．

解答：解：函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象過原點，可得c=0；
又f′（x）=3x²+2ax+b，且f（x）在x=±1處的切線斜率均為-1，
則有

3+2a+b=-1 3-2a+b=-1

，解得a=0，b=-4．
所以f（x）=x³-4x，f′（x）=3x²-4．
①可見f（x）=x³-4x是奇函數(shù)，因此①正確；
x∈[-2，2]時，[f′（x）]_min=-4，則k≤f'（x）恒成立，需k≤-4，因此④錯誤．
②令f′（x）=0，得x=±

2 3

3

．
所以f（x）在[-

2 3

3

，

2 3

3

]內(nèi)遞減，則|t-s|的最大值為

4 3

3

，因此②錯誤；
且f（x）的極大值為f（-

2 3

3

）=

16 3

9

，極小值為f（

2 3

3

）=-

16 3

9

，兩端點處f（-2）=f（2）=0，
所以f（x）的最大值為M=

16 3

9

，最小值為m=-

16 3

9

，則M+m=0，因此③正確．
故選B．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值的方法．