Question

【題目】如圖，PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=1，PD=.

（1）若M為PA中點，求證:AC∥平面MDE；

（2）求直線PE與平面PBC所成角的正弦值.

（3）在PC上是否存在一點Q，使得平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在

【解析】

（1）連結PC，交DE與N，可得N為PC中點，結合已知，可證MN∥AC，即可證明結論；

（2）建立空間直角坐標系，求出坐標，進而求出坐標及平面PBC法向量坐標，根據空間向量的線面角公式，即可求解；

（3）設，求出平面的法向量坐標，按照空間向量的面面角公式，求出，并判斷是否滿足條件.

（1）連結PC，交DE與N，連結MN，

∵△PAC中，M，N分別為兩腰PA，PC的中點，

∴MN∥AC因為MN面MDE，又面MDE，

所以AC∥平面MDE

（2）∵∠ADC=90°，∴AD⊥DC，又AD平面ABCD，

平面PDCE∩平面ABCD，∴AD⊥平面PDCE，

又PD平面PDCE，∴AD⊥PD，以D為空間坐標系的原點，

分別以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

則，，

，設面PBC的法向量，應有即:

令，則，所以，

設PE與PBC所成角的大小為θ，∵，

∴，

直線PE與平面PBC所成角的正弦值.

（3）設則

，設平面QAD的法向量為，即:

則，令，則，所以

∵面PBC的法向量，

平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為.∴，

整理得，解得或，

∴PC上存在點Q滿足條件，Q與P重合，或.