Question

【題目】已知各項均不相等的等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3＝15，且a3＋1為a1＋1和a7＋1的等比中項．

(1)求數列{an}的通項公式與前n項和Sn；

(2)設Tn為數列{}的前n項和，問是否存在常數m，使Tn＝m[＋]，若存在，求m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）an＝2n＋1 Sn＝n(n＋2)

（2）數m＝，見解析

【解析】解：(1)設數列{an}的公差為d，由已知，可得

S3＝a1＋a2＋a3＝15，得a2＝a1＋d＝5，

由a3＋1為a1＋1和a7＋1的等比中項，

可得(6＋d)2＝(6－d)×(6＋5d)，化簡得d2－2d＝0，

解得d＝0(不合題意，舍去)或d＝2，

當d＝2時，a1＝3，其通項公式為an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1，前n項和Sn＝n(n＋2)．

(2)由(1)知數列{an}的前n項和為Sn＝n(n＋2)，

則有＝＝ (－)，

Tn＝ (1－＋－＋－＋…＋－＋－)＝ (1＋－－)＝ [＋]．

故存在常數m＝，使得Tn＝m[＋]成立．