Question

（2013•內江一模）設函數f（x）=|x|x+bx+c，則下列命題中正確命題的序號有

（2）（3）（4）

（1）函數f（x）在R上有最小值；
（2）當b＞0時，函數在R上是單調增函數；
（3）函數f（x）的圖象關于點（0，c）對稱；
（4）當b＜0時，方程f（x）=0有三個不同實數根的充要重要條件是b²＞4|c|；
（5）方程f（x）=0可能有四個不同實數根．

Answer 1

分析：（1）當b＜0時，可以根據函數的值域加以判斷函數f（x）在R上是否有最小值；
（2）當b＞0時，把函數f（x）=|x|x+bx+c分x≥0和x＜0兩種情況討論，轉化為二次函數求單調性；
（3）函數f（x）的圖象關于點（0，c）對稱，可以根據函數圖象的平移解決；
（4）當b＜0時，方程f（x）=0有三個不同實數根，考慮函數f（x）與x軸有三個交點，如圖，其充要重要條件是函數y=f（x）的極大值大于0且極小值小于0，即可得到結論；
（5）根據f（x）=|x|x+bx+c=

x2+bx+c  ，x≥0  -x2+bx+c，x＜0

的每一段分段函數的圖象都是一個二次函數的部分圖象，且它們有一個公共點（0，c），結合二次函數的圖象可得結果．

解答：解：（1）當b＜0時，f（x）=|x|x+bx+c=

x2+bx+c  ，x≥0  -x2+bx+c，x＜0

值域是R，故函數f（x）在R上沒有最小值；
（2）當b＞0時，f（x）=|x|x+bx+c=

x2+bx+c  ，x≥0  -x2+bx+c，x＜0

，知函數f（x）在R上是單調增函數；
（3）若f（x）=|x|x+bx那么函數f（x）是奇函數（f（-x）=-f（x）），也就是說函數f（x）的圖象關于（0，0）對稱．而函數f（x）=|x|x+bx+c的圖象是由函數f（x）=|x|x+bx的圖象沿Y軸移動，故圖象一定是關于（0，c）對稱的．
（4）當b＜0時，方程f（x）=0有三個不同實數根，考慮函數f（x）與x軸有三個交點，如圖，
其充要重要條件是函數y=f（x）的極大值大于0且極小值小于0，
即b²-4c＞0，b²＞4|c|；
故（4）正確；
（5）f（x）=|x|x+bx+c=

x2+bx+c  ，x≥0  -x2+bx+c，x＜0

的每一段分段函數的圖象都是一個二次函數的部分圖象，且它們有一個公共點（0，c），由圖角可得解得方程f（x）=0最多有三個不同的實根，不可能有四個不同實數根．所以（5）不正確．

故答案為：（2）（3）（4）．

點評：本題考查了分段函數的單調性、對稱性和最值等問題，對于含有絕對值的一類問題，通常采取去絕對值的方法解決，體現了分類討論的數學思想；函數的對稱性問題一般轉化為函數的奇偶性加以分析，再根據函數圖象的平移解決，體現了轉化、運動的數學思想；對于存在性的命題研究，一般通過特殊值法來解決．