Question

【題目】設a,b,c分別是的三條邊,且.我們知道,如果為直角三角形,那么(勾股定理).反過來,如果,那么為直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,為直角三角形的充要條件是.請利用邊長a,b,c分別給出為銳角三角形和鈍角三角形的一個充要條件,并證明.

Answer 1

【答案】為銳角三角形的充要條件是.為鈍角三角形的充要條件是.證明見解析

【解析】

根據勾股定理易得為銳角三角形的充要條件是.為鈍角三角形的充要條件是.再分別證明充分與必要性即可.

解:(1)設a,b,c分別是的三條邊,且,為銳角三角形的充要條件是.

證明如下:必要性:在中,是銳角,作,D為垂足,如圖(1).

顯然

,即.

充分性:在中,,不是直角.

假設為鈍角,如圖(2).作,交BC延長線于點D.

則

.

即,與“”矛盾.

故為銳角,即為銳角三角形.

(2)設a,b,c分別是的三條邊,且,為鈍角三角形的充要條件是.

證明如下:必要性:在中,為鈍角,如圖(2),顯然:

.即.

充分性:在中,,

不是直角,假設為銳角,如圖(1),

則

.即,這與“”矛盾,從而必為鈍角,即為鈍角三角形.