Question

（本小題共12分）

設，點在軸的負半軸上，點在軸上，且．

（1）當點在軸上運動時，求點的軌跡的方程；

（2）若，是否存在垂直軸的直線被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）（解法一），故為的中點．

設，由點在軸的負半軸上，則 

又，      

 又，       

所以，點的軌跡的方程為

（解法二），故為的中點．  設，由點在軸的負半軸上，則  -------1分

又由，故，可得  -------2分

由，則有，化簡得：   -------3分

所以，點的軌跡的方程為                -------4分

（2）設的中點為，垂直于軸的直線方程為，

以為直徑的圓交于兩點，的中點為．

，

  -------9分

                   -------11分

       所以，令，則對任意滿足條件的，

       都有（與無關），即為定值．  -------12分

 

【解析】略