Question

已知中心在坐標原點，以坐標軸為對稱軸的雙曲線C過點，且點Q在x軸上的射影恰為該雙曲線的一個焦點F，
(Ⅰ)求雙曲線C的方程；
(Ⅱ)命題：“過橢圓的一個焦點F作與x軸不垂直的任意直線l交橢圓于A．B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則為定值，且定值是”。命題中涉及了這么幾個要素：給定的圓錐曲線E，過該圓錐曲線焦點F的弦AB，AB的垂直平分線與焦點所在的對稱軸的交點M，AB的長度與F，M兩點間的距離的比值．
試類比上述命題，寫出一個關于雙曲線C的類似的正確命題，并加以證明；
(Ⅲ)試推廣(Ⅱ)中的命題，寫出關于圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的統一的一般性命題（不必證明）。

Answer 1

解：(Ⅰ)依題意，可設雙曲線C的方程為，
由已知得C的一個焦點，
所以C的另一個焦點為，
由，
得，
又a=2，
所以，，
所以，雙曲線C的方程為。
(Ⅱ)關于雙曲線C的類似命題為：過雙曲線的焦點F₁(2，0)作與x軸不垂直的任意直線l交雙曲線于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則為定值，且定值是。
證明如下：由于l與x軸不垂直，可設直線l的方程為：y=k(x-2)，
①當k=0時，l與x軸重合，，命題正確；
②當k≠0時，由得，
依題意l與C有兩個交點A，B，所以，，
設，
則，，
所以線段AB的中點P的坐標為，
AB的垂直平分線MP的方程為：，
令y=0，解得：，
即，所以，，
又

，
所以，。
(Ⅲ)過圓錐曲線E的焦點F作與焦點所在的對稱軸不垂直的任意直線l交E于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交焦點所在的對稱軸于點M，則為定值，定值是（其中e為圓錐曲線E的離心率）。