Question

【題目】如圖，已知橢圓的離心率是，一個頂點是．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設，是橢圓上異于點的任意兩點，且．試問：直線是否恒過一定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直線恒過定點

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設橢圓C的半焦距為c．求出b利用離心率求出a，即可求解橢圓C的方程；（Ⅱ）證法一：直線PQ的斜率存在，設其方程為y=kx+m．將直線PQ的方程代入消去y，設 P，Q，利用韋達定理，通過BP⊥BQ，化簡求出，求出m，即可得到直線PQ恒過的定點．證法二：直線BP，BQ的斜率均存在，設直線BP的方程為y=kx+1，將直線BP的方程代入，消去y，解得x，設 P，轉化求出P的坐標，求出Q坐標，求出直線PQ的方程利用直線系方程求出定點坐標

試題解析：（Ⅰ）解：設橢圓的半焦距為．依題意，得，

且，

解得．

所以，橢圓的方程是．

（Ⅱ）證法一：易知，直線的斜率存在，設其方程為．

將直線的方程代入，

消去，整理得．

設，，

則，．（1）

因為，且直線的斜率均存在，

所以， 整理得．（2）

因為，，

所以，．（3）

將（3）代入（2），整理得

．（4）

將（1）代入（4），整理得．

解得，或（舍去）．

所以，直線恒過定點．

證法二：直線的斜率均存在，設直線的方程為．

將直線的方程代入，消去，得

解得，或．

設，所以，，

所以．

以替換點坐標中的，可得．

從而，直線的方程是．

依題意，若直線過定點，則定點必定在軸上．

在上述方程中，令，解得．

所以，直線恒過定點．