Question

【題目】如圖,在三棱錐中,是等邊三角形,,點是 的中點,連接．

（1）證明:平面平面;

（2）若,且二面角為,求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）由是等邊三角形,,得．再證明,,從而和證明平面,故平面平面得證．

（2）作,垂足為連接．由,證得結合二面角為,可得,,.建立空間直角坐標系,求出點的坐標則,,向量,即平面的一個法向量,運用公式和,即可得出直線與平面所成角的正弦值．

解:（1）證明:因為是等邊三角形,,

所以,可得．

因為點是的中點,則,,

因為,平面PBD,平面,

所以平面,因為平面,

所以平面平面．

（2）如圖,作,垂足為連接．

因為,

所以為二面角A-BD-C的平面角．

由已知二面角為,知．

在等腰三角形中,由余弦定理可得．

因為是等邊三角形,則,所以．

在中,有,得,

因為,所以．

又,所以．

則,．

以為坐標原點,以向量的方向分別為軸,軸的正方向,

以過點垂直于平面的直線為軸,建立空間直角坐標系,

則,,向量,

平面的一個法向量為,

設直線與平面所成的角為,

則,

所以直線與平面所成角的正弦值為．