Question

對任意x∈R，給定區間[k-

1

2

，k+

1

2

]（k∈Z），設函數f（x）表示實數x與x的給定區間內整數之差的絕對值．
（1）寫出f（x）的解析式；
（2）設函數g（x）=log_a

x

，（e-

1

2

＜a＜1），試證明：當x＞1時，f（x）＞g（x）；當0＜x＜1時，f（x）＜g（x）；
（3）求方程f（x）-log_a

x

=0的實根，（e-

1

2

＜a＜1）．

Answer 1

分析：（1）根據條件函數f（x）表示實數x與x的給定區間內整數之差的絕對值，可知k為與x最近的一個整數，因此可以求得f（x）的解析式；
（2）要證當x＞1時，f（x）＞g（x）求出f（x），易證成立；當0＜x＜1時，分情況討論，f（x）＜g（x）求出f（x），利用導數求函數H（x）=g（x）-f（x）=

1

2

log_ax-（1-x），（

1

2

＜x＜1）．的最小值即可證明結論；
（3）根據（2）易求1就是方程的實根．

解答：解：（1）當x∈[k-

1

2

，k+

1

2

]（k∈Z）時，由定義知：k為與x最近的一個整數，故
f（x）=|x-k|，x∈[k-

1

2

，k+

1

2

]（k∈Z）．
（2）①當x＞1時，|x-k|≥0＞

1

2

log_ax，所以f（x）＞g（x）；
②當

1

2

＜x＜1時，設H（x）=g（x）-f（x）=

1

2

log_ax-（1-x），（

1

2

＜x＜1）．
則H′（x）=

1

2

•

1

x

log_ae+1=

1

2xlna

+1＜

1

1xlne- 1 2

+1=-

1

x

+1＜0，
所以當

1

2

＜x＜1時，H（x）為減函數，H（x）＞H（1）=0，故f（x）＜g（x）；
③當0＜x≤

1

2

時，設G（x）=g（x）-f（x）=

1

2

log_ax-x，
明顯G（x）為減函數，G（x）≥G（

1

2

）=H（

1

2

）＞0，故f（x）＜g（x）．
另證：g（x）=

1

2

log_ax＞

1

2

log_a

1

2

=

1

2

loga4-

1

2

＞

1

2

logae-

1

2

＞

1

2

log_aa=

1

2

=f（

1

2

）＞f（x）．
（3）由（2），容易驗證x=1為方程|x-k|-

1

2

log_ax=0的實根，所以，若e-

1

2

＜a＜1，方程f（x）-log_a

x

=0有且僅有一個實根，實根為1．

點評：此題是個中檔題．考查分段函數的應用．解決分段函數的問題，一定分段求解，體現了分類討論的數學思想和方法，同時考查了學生的閱讀能力和分析解決問題的能力和計算能力．