Question

【題目】已知函數．

（1）若在處取得極值，求的值；

（2）求在區間上的最小值；

（3）在（1）的條件下，若，求證：當時，恒有成立．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）先求出函數的定義域和導數，由已知函數在處取得極值，得到，即可求解的值；

（2）由（1）得，定義域為，分，和三種情況討論，分別求得函數的最小值，即可得到結論；

（3）由，得到，把，只需證，構造新函數，利用導數求得函數的單調性與最值，即可求解.

（1）由，定義域為，則，

因為函數在處取得極值，

所以，即，解得，

經檢驗，滿足題意，所以.

(2)由（1）得，定義域為，

當時，有，在區間上單調遞增，最小值為，

當時，由得，且，

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；

所以在區間上單調遞增，最小值為，

當時，則，當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；

所以在處取得最小值，

綜上可得：

當時，在區間上的最小值為1，

當時，在區間上的最小值為.

（3）由得，

當時，，則，

欲證，只需證，即證，即，

設，則，

當時，，在區間上單調遞增，

當時，，即，

故， 即當時，恒有成立.