Question

【題目】函數fn（x）＝xn+bx+c（n∈Z，b，c∈R）．

（1）若n＝﹣1，且f﹣1（1）＝f﹣1（）＝5，試求實數b，c的值；

（2）設n＝2，若對任意x1，x2∈[﹣1，1]有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤6恒成立，求b的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）b＝3，c＝1；（2）﹣3≤b≤3．

【解析】

（1）由條件可得，的方程，解方程可得，；（2）當時，，對任意，，有恒成立等價于在，上的最大值與最小值之差．討論對稱軸和區間的關系，判斷單調性，可得最值，解不等式即可得到所求范圍．

（1）n＝﹣1時，f﹣1（x）＝x﹣1+bx+c，

且f﹣1（1）＝f﹣1（）＝5，

可得1+b+c＝5，3b+c＝5，解得b＝3，c＝1；

（2）當n＝2時，f2（x）＝x2+bx+c，

對任意x1，x2∈[﹣1，1]有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤6恒成立等價于

f2（x）在[﹣1，1]上的最大值與最小值之差M≤6．

①當1，即b＞2時，f2（x）在[﹣1，1]遞增，

f2（x）min＝f2（﹣1）＝1﹣b+c，f2（x）max＝f2（1）＝1+b+c，

M＝2b＞4，且2b≤6，可得2＜b≤3；

②當﹣10，即0≤b≤2時，f2（x）在[﹣1，]遞減，在（，1]遞增，

f2（x）min＝f2（）＝c，f2（x）max＝f2（1）＝1+b+c，M＝（1）2≤6恒成立，故0≤b≤2；

③當01即﹣2≤b＜0時，f2（x）在[﹣1，]遞減，在（，1]遞增，

f2（x）min＝f2（）＝c，f2（x）max＝f2（﹣1）＝1﹣b+c，M＝（1）2≤6恒成立，故﹣2≤b＜0；

④當1，即b＜﹣2時，f2（x）在[﹣1，1]遞減，

f2（x）min＝f2（1）＝1+b+c，f2（x）max＝f2（﹣1）＝1﹣b+c，

M＝﹣2b＞4且﹣2b≤6，可得﹣3≤b＜﹣2．

綜上可得，b的取值范圍是﹣3≤b≤3．