Question

用數學歸納法證明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2ⁿ·1·3·…·(2n-1),其中n∈N^*.

Answer 1

思路分析:用數學歸納法證明一個與正整數有關的命題時,關鍵是第二步,要注意當n=k+1時,等式兩邊的式子與n=k時等式兩邊的式子的聯系,增加了哪些項或減少了哪些項,問題就容易解決了.

證明:(1)當n=1時,左邊1+1=2,右邊=2¹·1=2,等式成立.

(2)假設當n=k時,等式成立,即(k+1)(k+2)…(k+k)=2^k·1·3·…·(2k-1).

則當n=k+1時,

(k+2)…(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)

=(k+1)(k+2)…(k+k)·2(2k+1)

=2^k·1·3…(2k-1)·2(2k+1)

=2^k+1·1·3…(2k-1)(2k+1).

即當n=k+1時,等式也成立.

由(1)(2)可知對一切n∈N^*,等式成立.

    誤區警示 當n=k+1時,等式的左邊容易錯寫成(k+1)(k+2)…(k+k)(k+k+1).這時我們要注意式子(n+1)(n+2)…(n+n)的結構特征以及該式與n之間的關系.