Question

函數f（x）=ax²+（a-3）x+1在區間[-1，+∞）上是遞減的，則實數a的取值范圍是（　　）

A．[-3，0）

B．（-∞，-3]

C．[-2，0]

D．[-3，0]

Answer 1

分析：由于函數解析式的二次項系數a不確定，故分a=0，a＞0和a＜0三種情況進行研究，結合一次函數和二次函數的性質進行分析，最后綜合討論結果，即可求得實數a的取值范圍．

解答：解：∵函數f（x）=ax²+（a-3）x+1在區間[-1，+∞）上是遞減的，
①當a=0時，f（x）=-3x+1，
∵-3＜0，
∴f（x）在R上單調遞減，符合題意；
②當a＞0時，函數f（x）=ax²+（a-3）x+1為二次函數，
∵二次函數在對稱軸右側單調遞增，
∴不可能在區間[-1，+∞）上遞減，
故不符合題意；
③當a＜0時，函數f（x）=ax²+（a-3）x+1為二次函數，對稱軸為x=-

a-3

2a

，
∵二次函數在對稱軸右側單調遞減，且f（x）=ax²+（a-3）x+1在區間[-1，+∞）上是遞減的，
∴-

a-3

2a

≤-1，解得-3≤a＜0，
∴實數a的取值范圍是-3≤a＜0．
綜合①②③，可得實數a的取值范圍是[-3，0]．
故選D．

點評：本題考查了二次函數的性質，二次函數的單調性與它的開口方向、對稱軸有關．對于二次函數要注意數形結合的應用，注意抓住二次函數的開口方向，對稱軸，以及判別式的考慮．屬于基礎題．