Question

【題目】如圖所示的多面體的底面為直角梯形，四邊形為矩形，且，，，，，，分別為，，的中點．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析．（2）

【解析】

（1）先證明平面，可得，取中點，利用等腰三角形的性質可得，由線面垂直的判定即可得證；

（2）建立空間直角坐標系，求出各點坐標后，再求出平面的一個法向量和直線的方向向量，求出兩向量夾角的余弦值后利用平方關系即可得解.

（1）證明：，分別為，的中點，，

四邊形為矩形，，

又，，，平面，

平面，平面，，

取中點，連接，，，則，

點，，，同在平面內．

在中，，，為中點，

，

又，，平面，平面．

（2）由（1）知，，三條直線兩兩垂直且交于點，以為原點，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標系，如圖．

則，，，，

，分別為，中點，可得，，

，，，

設平面的一個法向量為，則，即，

令，可得，，，

所以．

所以與平面所成角的余弦值為.