Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于點F，FE∥CD，交PD于點E.

(1)證明：CF⊥平面ADF；

(2)求二面角DAFE的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）結合已知又直線和平面垂直的判定定理可判F，即得所求；
（2）由已知數據求出必要的線段的長度，建立空間直角坐標系，由向量法計算即可．

(1)證明：∵PD⊥平面ABCD，AD平面ABCD，

∴PD⊥AD．

又CD⊥AD，PD∩CD＝D，∴AD⊥平面PCD．

又PC平面PCD，∴AD⊥PC．

又AF⊥PC，AD∩AF＝A，∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF.

(2)設AB＝1，則在Rt△PCD中，CD＝1，

又∠DPC＝30°，∴PC＝2，PD＝，∠PCD＝60°.

由(1)知CF⊥DF，∴DF＝CDsin 60°＝，CF＝CDcos 60°＝.

又FE∥CD，∴＝＝，∴DE＝.

同理EF＝CD＝.

如圖所示，以D為原點，建立空間直角坐標系Dxyz，

則A(0,0,1)，E，F，P(，0,0)，C(0,1,0)．

設m＝(x，y，z)是平面AEF的一個法向量，則

又＝，＝，∴

令x＝4，則z＝，m＝(4,0，)．由(1)知平面ADF的一個法向量為＝(－，1,0)，

設二面角 DAFE的平面角為θ，可知θ為銳角，

故cos θ＝|cos〈m，〉|＝＝＝.

故二面角DAFE的余弦值為.