Question

如圖所示，已知圓C：（x+1）²+y²=8，定點A（1，0），M為圓C上一動點，點P在線段AM上，點N在線段CM上，且滿足

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0，點N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若過定點F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點G、H（點G在點F、H之間），且滿足

FG

=λ

FH

，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用線段垂直平分線的性質推出 NC+NM=r=2

2

＞AC，再利用橢圓的定義知，點N的軌跡是以A、C 為焦點的橢圓，利用待定系數法求出橢圓的方程
（2）不妨設FH斜率為k，且將原點移至F，則直線FH方程為y=kx，則橢圓方程變為

x2

2

+（y-2）²=1，將直線與橢圓方程聯立得（1+2k²）x²-8kx+6=0，結合題設條件求參數λ的范圍

解答：解：（1）設點N的坐標為（x，y），
∵

AM

=2

AP

，∴點P為AM的中點，
∵

NP

•

AM

=0，∴NP⊥AM，∴NP是線段AM的垂直平分線，∴NM=NA，
又點N在CM上，設圓的半徑是 r，則 r=2

2

，
∴NC=r-NM，∴NC+NM=r=2

2

＞AC，
∴點N的軌跡是以A、C 為焦點的橢圓，
∴2a=2

2

，c=1，可求得b=1，
∴橢圓

x2

2

+y2=1，即曲線E的方程：

x2

2

+y2=1．
（2）當斜率不存在時，直線與曲線E有2個交點此時參數的值為λ=

1

3

，
不妨設FH斜率為k，且將原點移至F，
則直線FH方程為y=kx，橢圓方程變為

x2

2

+（y-2）²=1，
將直線方程代入橢圓得

x2

2

+（kx-2）²=1，整理得（1+2k²）x²-8kx+6=0，
直線與曲線E有二不同的交點，故△=（-8k）²-4•6（1+2k²）=16k²-24＞0，即k²＞

3

2

，
因為左右對稱，可以研究單側，
當k＞0時，λ=

x1

x2

=

-b- b2-4ac

-b+ b2-4ac

即λ=

8k- 16k2-24

8k+ 16k2-24

=

2- 1- 3 2k2

2+ 1- 3 2k2

由k²＞

3

2

，即0＜

3

2k2

＜1，即0＜

1- 3 2k2 ?

＜1，
令t=

1- 3 2k2 ?

∈（0，1），則λ=

2-t

2+t

，t∈（0，1），
由于λ=

2-t

2+t

=

4

2+t

-1，故函數在t∈（0，1）上是減函數，故

1

3

＜λ＜1
綜上，參數的取值范圍是

1

3

≤λ＜1

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合題，解題的關鍵是掌握圓錐曲線的定義，由題設條件判斷出所求的軌跡是橢圓，以及能將求兩線段比值的問題轉化為坐標比值，以利于用直線與圓錐曲線的方程研究參數的取值范圍，本題解題過程中把曲線中心移到點（0，2），重新建系，使得橢圓方程得以簡化且給后續解題帶來了極大的方便，使問題轉化為在k＞0上求參數的范圍，解題時要注意此類技巧的使用．本題綜合性強運算較繁雜，做題時要嚴謹認真．